Справочник: логнормальное распределение

Posted On 02.03.2018

Логнормальное распределение

Неотрицательная случайная величина X называется распределенной логарифмически нормально, если ее логарифм Z= lg X распределен по нормальному закону.

Функция распределения случайной величины. Виды распределения

Логарифмическим нормальным распределением, как правило, хорошо аппроксимируются такие случайные величины X, которые образуются в результате умножения большого числа независимых или слабо зависимых неотрицательных случайных величин, дисперсия каждой из которых мала по сравнению с дисперсией их суммы.

Область x 0 < x < 
Параметры x0 — параметр масштаба;
z — параметр формы
Плотность (функция вероятности)
Математическое ожидание
Дисперсия

График f(x) при x0 = 10, z = 0.8

Пример логнормального распределения

Лазерный луч CD привода преодолевает некоторое расстояние перед считыванием с диска. Разобьем это расстояние на n участков. На каждом таком участке интенсивность луча лазера ослабевает (например, из-за наличия пыли в воздухе), т.е. имеем коэффициент потерь. Итоговый коэффициент потерь на всем расстоянии будет распределен по логнормальному закону.

Доказательство

Очевидно, что K = K1  …  Kn. Поэтому lg K = lg K1 + … + lg Kn. Центральная предельная теорема гласит: "Если X1, …, Xn — независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие математическое ожидание и дисперсию, то при n   закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному". Поэтому величина lg K будет распределена по нормальному закону, а это означает, что величина K, т.е. итоговый коэффициент потерь на всем расстоянии будет распределен по логнормальному закону

К оглавлению

Стандартное разложение плотности в ряд Тейлора и почленное интегрирование приводит к степенному ряду

который фигурирует во всех текстах про бета-распределение. Этот ряд сходится довольно медленно. Кроме того, когда a и b велики (что требуется при применения F-распределения к большим выборкам), может возникнуть переполнение. Другие разложения в ряд можно найти в горячо рекомендуемом справочнике М.Абрамовица и И.Стигана «Справочник по специальным функциям», М: Мир 1979.

Гораздо более полезным оказалось разложение неполной бета-функции в цепную дробь

где

Характер сходимости ее подходящих дробей достаточно сложен, поскольку члены ее звеньев альтернируют. Однако, как часто бывает, четные подходящие дроби ведут себя очень даже пристойно, монотонно сходясь к нужному пределу. Поэтому в нижеследующих кодах в цикле вычисляются две последовательные подходящие дроби: это позволяет в условиях останова иметь дело лишь с четными номерами. Сходимость высока при , в худшем случае потребуется просуммировать подходящих дробей. Если же , естественно использовать симметрию бета-распределения.

Для поиска квантилей используется бисекция – метод деления пополам.

Приводимые коды следует, естественно, рассматривать лишь как иллюстрацию, хотя и работоспособную во всех статистических задачах, с которыми я сталкивался. Если же задача состоит в разработке методов вычисления одной из специальных функций – неполной бета-функции, то придется учитывать разнообразные частные случаи (например, очень маленькие или очень большие значения параметров a и b, соотношение между x и параметрами a и b и т.п.). Для работы с приводимыми здесь кодами необходимы функции, содержащиеся в файлах и (описание см. в Приложении А).

/***********************************************************/ /* Beta distribution */ /***********************************************************/ #ifndef __BETA_H__ /* To prevent redefinition */ #define ENTRY extern #define LOCAL static class BetaDF { public: BetaDF(double u, double w); double value(double x); // Функция распределения Beta(x|a,b) double inv(double p); // Обратная функция: Beta(x|a,b)=p private: double a,b, logBeta; double fraction(double a, double b, double x); }; #define __BETA_H__ /* Prevents redefinition */ #endif /* Ends #ifndef __BETA_H__ */
/***********************************************************/ /* Бета-распределение */ /***********************************************************/ #include <math.h> #include <assert.h> #include «BetaDF.h» #include «logGamma.h» BetaDF::BetaDF(double u, double w): a(u), b(w), logBeta(logGamma(a) + logGamma(b) — logGamma(a + b)) { assert(a > 0 && b > 0); } double BetaDF::fraction(double a, double b, double x) // // См. Abramowitz & Stegun, // Handbook of Mathematical Functions, 1964 // М.Абрамовиц, И.Стиган // Справочник по специальным функциям (М: Мир, 1979) // // Неполная бета-функция вычисляется с помощью разложения в цепную дробь // // i_beta(a,b,x) = x^{a}*(1-x)^{b}*fraction / a * beta(a,b), // где // // 1 d1 d2 d3 d4 // fraction = — —- —- —- —- …. // 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ // // Подходящие дроби: A(n) / B(n) // // где // A(n) = (s(n) * A(n-1) + r(n) * A(n-2)) * factor // B(n) = (s(n) * B(n-1) + r(n) * B(n-2)) * factor // и // A(-1) = 1, B(-1) = 0, A(0) = s(0), B(0) = 1. // // Здесь s(0) = 0 и при n >= 1 s(n) = 1, // а r(1) = 1 и при i >= 2 // // r(i) = m(b-m)x / (a+i-1)(a+i) когда i = 2m, // r(i) = -(a+m)(a+b+m)x / (a+i-1)(a+i) когда i = 2m+1, // // factor — шкалирующий множитель, позволяющий избежать переполнения. // // Итак, A(0) = 0 , B(0) = 1, // r(1) = -(a+b)*x / (a+1) // A(1) = A(0) + r(1)*A(-1) = r(1) = 1 // B(1) = B(0) + r(1)*B(-1) = 1 // { double old_bta = 0, factor = 1; double A0 = 0, A1 = 1, B0 = 1, B1 = 1; double bta = 1, am = a, ai = a; double iter = 0, r; do { // часть цикла, вычисляющая нечетные подходящие дроби // начинаем с i = 1, iter = 0 ai += 1; // = a+i r = -am * (am + b) * x / ((ai — 1) * ai); /* пересчет A и B в два шага */ A0 = (A1 + r * A0) * factor; /* i НЕчетно */ B0 = (B1 + r * B0) * factor; // часть цикла, вычисляющая нечетные подходящие дроби // начинаем с i = 2, iter = 1 am += 1; iter += 1; ai += 1; r = iter * (b — iter) * x * factor / ((ai — 1) * ai); A1 = A0 + r * A1; /* i четно, A0 и B0 уже шкалированы */ B1 = B0 + r * B1; old_bta = bta; factor = 1 / B1; bta = A1 * factor; } while (fabs(old_bta) != fabs(bta)); return bta * exp(a * log(x) + b * log(1 — x) — logBeta) / a; }/*incBeta_fraction*/ double BetaDF::value(double x) // // Вычисляет Beta(x|a,b): // вероятность того, что случайная величина, // подчиняющаяся бета-распределению с параметрами ‘a’ и ‘b’, // меньше или равна ‘x’.

// { if (x <= 0) return 0; /* НЕ ошибка! */ else if (x >= 1) return 1; /* НЕ ошибка!

О НЕКОТОРЫХ ПРИМЕНЕНИЯХ ЛОГНОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1

*/ if (x < (a + 1) / (a + b + 2)) return fraction(a, b, x); else return 1 — fraction(b, a, 1 — x); }/*value*/ double BetaDF::inv(double p) // // Ищет такое значение ‘x’, для которого Beta(x|a,b) = p, // т.е. равна ‘p’ вероятность того, что случайная величина, // подчиняющаяся бета-распределению с параметрами ‘a’ и ‘b’, // меньше или равна ‘x’. // { double fx, l = 0, r = 1, x = 0.5; assert(p >= 0 && p <= 1); if (p == 0 || p == 1) return p; do { fx = value(x); if (fx > p) r = x; else if (fx < p) l = x; else return x; x = (l + r)* 0.5; } while ((l!=x) && (r!=x)); return x; }/*inv*/

Онлайн формулы по теории вероятности

В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей в онлайн-варианте (в формате для скачивания — см. на странице Таблицы и формулы по теории вероятностей).

Логнормальное распределение

III. Распределения случайных величин. Основные формулы онлайн

Спасибо, что читаете и делитесь с другими

21. Биномиальное распределение (дискретное)

— количество «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна . .

Закон распределения имеет вид:

Здесь вероятности находятся по формуле Бернулли: .

Характеристики: , ,

Примеры многоугольников распределения для и различных вероятностей:

22. Пуассоновское распределение (дискретное)

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

При условии закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.

Ряд распределения:

Вероятности вычисляются по формуле Пуассона: .

Числовые характеристики: , ,

Разные многоугольники распределения при .

23.

Показательное распределение (непрерывное)

Экспоненциальное или показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Плотность распределения:

Где .

Числовые характеристики: , ,

Плотность распределения при различных значениях .

24. Равномерное распределение (непрерывное)

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчётов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке ), в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчинённых заданному распределению.

Плотность распределения:

Числовые характеристики: , ,

График плотности вероятностей:

25. Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное)

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, – распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Плотность распределения:

Числовые характеристики: , ,

Пример плотности распределения:

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами и называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая — стандартной или нормированной.

Функция Лапласа .

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал

Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины на величину от математического ожидания (по модулю).

.

Решенные задачи по распределениям случайных величин

Ищете решение задачи по теории вероятностей? Проверьте в онлайн-решебнике:

Каталог формул по теории вероятности онлайн

Полный список страниц с формулами:

Add a Comment

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *