Справочник: логнормальное распределение
Posted On 02.03.2018
Содержание
- Логнормальное распределение
- Функция распределения случайной величины. Виды распределения
- О НЕКОТОРЫХ ПРИМЕНЕНИЯХ ЛОГНОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1
- Онлайн формулы по теории вероятности
- Логнормальное распределение
- III. Распределения случайных величин. Основные формулы онлайн
- Решенные задачи по распределениям случайных величин
- Каталог формул по теории вероятности онлайн
Логнормальное распределение
Неотрицательная случайная величина X называется распределенной логарифмически нормально, если ее логарифм Z= lg X распределен по нормальному закону.
Функция распределения случайной величины. Виды распределения
Логарифмическим нормальным распределением, как правило, хорошо аппроксимируются такие случайные величины X, которые образуются в результате умножения большого числа независимых или слабо зависимых неотрицательных случайных величин, дисперсия каждой из которых мала по сравнению с дисперсией их суммы.
Область x | 0 |
Параметры |
x0 — параметр масштаба; z — параметр формы |
Плотность (функция вероятности) | |
Математическое ожидание | |
Дисперсия |
График f(x) при x0 = 10, z = 0.8
Пример логнормального распределения
Лазерный луч CD привода преодолевает некоторое расстояние перед считыванием с диска. Разобьем это расстояние на n участков. На каждом таком участке интенсивность луча лазера ослабевает (например, из-за наличия пыли в воздухе), т.е. имеем коэффициент потерь. Итоговый коэффициент потерь на всем расстоянии будет распределен по логнормальному закону.
Доказательство
Очевидно, что K = K1 … Kn. Поэтому lg K = lg K1 + … + lg Kn. Центральная предельная теорема гласит: "Если X1, …, Xn — независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие математическое ожидание и дисперсию, то при n закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному". Поэтому величина lg K будет распределена по нормальному закону, а это означает, что величина K, т.е. итоговый коэффициент потерь на всем расстоянии будет распределен по логнормальному закону
К оглавлению
Стандартное разложение плотности в ряд Тейлора и почленное интегрирование приводит к степенному ряду
который фигурирует во всех текстах про бета-распределение. Этот ряд сходится довольно медленно. Кроме того, когда a и b велики (что требуется при применения F-распределения к большим выборкам), может возникнуть переполнение. Другие разложения в ряд можно найти в горячо рекомендуемом справочнике М.Абрамовица и И.Стигана «Справочник по специальным функциям», М: Мир 1979.
Гораздо более полезным оказалось разложение неполной бета-функции в цепную дробь
где
Характер сходимости ее подходящих дробей достаточно сложен, поскольку члены ее звеньев альтернируют. Однако, как часто бывает, четные подходящие дроби ведут себя очень даже пристойно, монотонно сходясь к нужному пределу. Поэтому в нижеследующих кодах в цикле вычисляются две последовательные подходящие дроби: это позволяет в условиях останова иметь дело лишь с четными номерами. Сходимость высока при , в худшем случае потребуется просуммировать подходящих дробей. Если же , естественно использовать симметрию бета-распределения.
Для поиска квантилей используется бисекция – метод деления пополам.
Приводимые коды следует, естественно, рассматривать лишь как иллюстрацию, хотя и работоспособную во всех статистических задачах, с которыми я сталкивался. Если же задача состоит в разработке методов вычисления одной из специальных функций – неполной бета-функции, то придется учитывать разнообразные частные случаи (например, очень маленькие или очень большие значения параметров a и b, соотношение между x и параметрами a и b и т.п.). Для работы с приводимыми здесь кодами необходимы функции, содержащиеся в файлах и (описание см. в Приложении А).
/***********************************************************/ /* Beta distribution */ /***********************************************************/ #ifndef __BETA_H__ /* To prevent redefinition */ #define ENTRY extern #define LOCAL static class BetaDF { public: BetaDF(double u, double w); double value(double x); // Функция распределения Beta(x|a,b) double inv(double p); // Обратная функция: Beta(x|a,b)=p private: double a,b, logBeta; double fraction(double a, double b, double x); }; #define __BETA_H__ /* Prevents redefinition */ #endif /* Ends #ifndef __BETA_H__ */ |
/***********************************************************/ /* Бета-распределение */ /***********************************************************/ #include // { if (x = 1) return 1; /* НЕ ошибка! О НЕКОТОРЫХ ПРИМЕНЕНИЯХ ЛОГНОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1*/ if (x = 0 && p p) r = x; else if (fx |
Онлайн формулы по теории вероятности
В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей в онлайн-варианте (в формате для скачивания — см. на странице Таблицы и формулы по теории вероятностей).
Логнормальное распределение
III. Распределения случайных величин. Основные формулы онлайн
Спасибо, что читаете и делитесь с другими
21. Биномиальное распределение (дискретное)
— количество «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна . .
Закон распределения имеет вид:
Здесь вероятности находятся по формуле Бернулли: .
Характеристики: , ,
Примеры многоугольников распределения для и различных вероятностей:
22. Пуассоновское распределение (дискретное)
Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.
При условии закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.
Ряд распределения:
Вероятности вычисляются по формуле Пуассона: .
Числовые характеристики: , ,
Разные многоугольники распределения при .
23.
Показательное распределение (непрерывное)
Экспоненциальное или показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.
Плотность распределения:
Где .
Числовые характеристики: , ,
Плотность распределения при различных значениях .
24. Равномерное распределение (непрерывное)
Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчётов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке ), в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчинённых заданному распределению.
Плотность распределения:
Числовые характеристики: , ,
График плотности вероятностей:
25. Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное)
Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, – распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.
Плотность распределения:
Числовые характеристики: , ,
Пример плотности распределения:
Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами и называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая — стандартной или нормированной.
Функция Лапласа .
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал
Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины на величину от математического ожидания (по модулю).
.
Решенные задачи по распределениям случайных величин
Ищете решение задачи по теории вероятностей? Проверьте в онлайн-решебнике:
Каталог формул по теории вероятности онлайн
Полный список страниц с формулами: